수학자가 보는 카지노의 헛점

수학자가 보는 카지노의 헛점

한 도박꾼 무리가 카지노에서 부정한 방법으로 돈을 땄다. 이 과정에서 카드 섞는 장비의 허점이 우연히 드러났다. 그리고 이 허점의 이론적 원리를 마술사 출신 수학자가 풀어냈다.


카지노용 카드 셔플 장비(카드를 섞어주는 장비)를 만드는 업계가 갑자기 뒤숭숭해졌다. 기계식 카드 셔플 장비는 이미 라스베이거스를 비롯한 전 세계에서 수천 대씩 운영 중이다. 장비 임대료만 해도 연간 수백만 달러. 이를 제조하는 기업 중에 주식 시장에 상장되는 사례도 있을 정도로 거대한 산업이다.


업계의 불안은 한 회사의 장비가 해킹당하며 시작됐다. 불법 행위를 한 사기꾼들은 비디오 카메라를 몰래 숨겨, 투명한 상자 안에서 카드가 섞이는 방식을 녹화했다.


녹화된 영상은 카지노 주차장에 있는 공범에게 보내졌고, 공범은 이를 느리게 재생해 카드 덱에 나오는 카드의 순서를 파악했다. 그리고 이 정보를 카지노 안에서 게임중인 도박꾼에게 전달했다. 이들은 검거 전까지 이런 수법으로 카지노에 수백만 달러 상당의 손해를 입혔다.


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이후 업계는 재발 방지를 위해 새로운 카드 셔플 장비를 고안했다. 이번에는 불투명한 상자로 카드를 섞는 장면을 가렸다. 엔지니어들은 이 장치가 부정한 방식으로 카드 패 정보를 얻으려는 이들을 막아주리라 확신했다.


하지만 그보다 카드 셔플 장비의 기본 기능인 카드 섞기가 잘 되는지부터 확인할 필요가 있었다. 퍼시 디아코니스가 이 업계에 호출된 이유다.


프로 마술사 출신으로 스탠포드 대학 수학자가 된 디아코니스는 카드 셔플 관련 수학에서는 세계 최고 전문가다. 이 주제에 관한 수많은 연구에서 그의 이름을 볼 수 있다.


이 분야에 관심이 각별하다 보니, 디아코니스는 글자 그대로 "블랙 박스"의 내부를 볼 기회가 생긴 것에 몹시 기뻐했다.


그는 스탠포드 대학 통계학자인 수잔 홈즈와 함께 라스베이거스로 가서 장비의 프로토타입을 조사했다. 그런데 두 사람이 결함을 발견하기까지는 그리 오랜 시간이 걸리지 않았다. 처음에는 기계 무작위로 카드를 섞어주는 듯 보였지만, 섞인 카드에서 여전히 오름 또는 내림 차순이 존재했고 이를 통해 순서 예측이 가능했다.


두 사람은 회사 경영진 앞에서 이를 입증하기 위해 하나의 추측 기법을 만들었다. 이를 테면 이런 식이다. 처음에 카드 하트 5가 나온다면, 오름 차순으로 카드가 나온다는 가정을 가지고 다음 카드를 하트 6으로 추측한다.


그런데 다음 카드가 실제로는 하트 4가 나온다면 내림 차순으로 카드가 나온다는 것으로 가정을 바꾸고, 다음 카드를 하트 3으로 예측하는 식이다.


사기꾼들은 카드 셔플 장비를 세심하게 관찰해 장비에서 카드가 나오는 순서를 예측할 수 있었다

사진 출처,GETTY IMAGES

사진 설명,

사기꾼들은 카드 셔플 장비를 세심하게 관찰해 장비에서 카드가 나오는 순서를 예측할 수 있었다


이처럼 간단한 전략으로 수학자들은 게임용 카드 한 팩 기준 9~10장의 카드(총 5 분의 1)를 정확하게 추측해냈다. 유능한 카드 카운터(카드 게임에서 카드의 순서를 외우고 계산하며 게임하는 사람들)보다 2~3배 뛰어난 수준이다.


카드 카운팅은 앞서 나온 카드를 기억해서 다음 카드가 승자 카드일지 패자 카드일지에 대한 예측을 높이는 관행이다. 이 관행은 카드 게임에서 수십 년 동안('브릿지' 같은 일부 게임에서는 게임을 하는 합법적인 방식이다) 이어져왔다. 하지만 '블랙잭' 같은 카지노 게임에서는 불법적인 기술을 활용해 카드 카운팅을 하지 못하도록 강력하게 막고 있다.


디아코니스의 검증을 살펴본 경영진은 두려워졌다. 그들은 디아코니스에게 "당신의 결론이 달갑지 않지만 이게 엄연한 현실"이라며 "당신을 고용한 것도 이 때문이다"라는 반응을 전했다. 그리고는 프로토타입을 창고에 넣고, 다른 장비를 꺼냈다.


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디아코니스는 일생에 걸쳐 질서와 무작위의 경계에 있는 문제를 연구해왔다. 암호화된 메시지를 풀거나 DNA 가닥을 재조립하거나 웹 검색 엔진을 최적화하거나, 온갖 문제를 카드 섞기와 관련된 질문으로 바꾸는 데 특히 뛰어난 수학자다.


카드에 대한 그의 관심은 1958년에 있었던 우연한 만남에서 시작됐다. 당시 13살이던 디아코니스는 뉴욕 타임스퀘어에 있는 '탄넨 매직 엠포리움'에서 '퍼펙트 셔플'을 마스터한 스코틀랜드 출신 컴퓨터 과학자이자 마술사 알렉스 엠슬리를 만났다.


'파로 셔플' 또는 '기술'이라 불리는 퍼펙트 셔플은 카드 더미를 26장짜리 두 개의 진영으로 나누고 양측의 카드를 지퍼를 올리는 것처럼 사이사이에 들어가게 하는 기술이다. 이 기술을 10초 이내에 정확히 해낼 수 있는 사람은 아주 드문데, 디아코니스가 그 중 하나다.


퍼펙트 셔플은 수세기 동안 도박꾼과 마술사들에게 사랑을 받았다. 카드를 무작위로 섞는다는 인상을 주기 때문이다. 하지만 사실 이것은 무작위와는 거리가 멀다. 동일한 순서의 퍼펙트 셔플을 연속 여덟 번 거듭하면, 카드는 마술처럼 원래 순서로 돌아오기 때문이다.


디아코니스는 역시 이를 보여주기 위해 카드 데 한쪽에 "랜덤"이라는 글자를 쓴 뒤 퍼펙트 셔플을 시연하기도 한다.


그가 빠른 손놀림으로 셔플을 시작하면, 마치 오래된 TV에서 보이는 흐릿한 영상처럼 카드에 쓰여진 글자들이 이리저리 뒤섞이며 흐릿한 유령처럼 보이게 된다. 하지만 그가 마지막 8번째 셔플을 하고 나면 랜덤이라는 단어는 다시 완전한 모습을 갖춘다. 그리고 카드는 스페이드 에이스에서 하트 에이스까지 정확히 처음의 순서로 되돌아간다.


과거 탄넨 매직 엠포리움에서 디아코니스를 만난 엠슬리가 보여준 것도 이 기술 뒤에 있는 미묘한 수학이다. 1에서 52까지 번호가 붙은 카드가 있고, 카드 더미 최상단에는 1이 가장 아래에는 52가 있다고 상상해 보자.


퍼펙트 셔플을 수행하면, 카드들은 더미 안에서 새로운 위치로 이동한다. 예를 들어 원래 2의 자리에 있던 카드는 3으로 이동한다. 3에 있는 카드는 5로, 27은 2로 가는 식이다.


이러한 퍼펙트 셔플은 '의자 뺏기 게임(원을 따라 돌다가 신호가 나오면 사람수보다 1 적은 의자를 차지하는 게임)'처럼 일련의 사이클을 갖는다. 카드를 올바른 순서로 되돌리는 데 필요한 셔플 횟수는 수학 공식으로 계산해 낼 수 있다.


해당 카드를 섞을 때 나올 수 있는 사이클 길이의 최소 공배수가 답이다. 52장의 카드를 섞는 이 경우에는 나올 수 있는 사이클 길이의 최소 공배수가 8이다. 그래서 퍼펙트 셔플을 8차례 진행하면, 다시 원래의 순서로 돌아온다.


엠슬리를 만난 이듬해, 디아코니스는 마술을 배우겠다며 집을 떠났다. 그리고 스승과 함께 10년을 떠돌며, 다양한 카드 셔플링과 카드 사기꾼들의 기술을 배웠다.


하지만 디아코니스가 마술에만 매료됐던 건 아니다. 엠슬리와의 대화를 통해 '수학과 마술 사이에는 어떤 연관이 있을까?'라는 호기심을 갖게 됐다.


디아코니스는 "일곱 번의 셔플이면 충분하다"는 문구를 훗날 자신의 묘비에 새길 것이라고 말한다. 이 말은 그의 가장 유명한 깨달음이기도 하다: 카드의 순서를 충분한 만큼의 무작위로 만들기 위해서는 '리플 셔플'이 7차례 필요하다는 것.


카지노 및 카드 게임자들에게 친숙한 리플 셔플은 카드 덱을 두 뭉치로 나눈 다음 손으로 잡고 "촤르륵" 소리를 내며 양쪽이 겹쳐지게 떨어뜨리는 방법이다.


리플 셔플은 퍼펙트 셔플과도 닮았지만, 훨씬 제멋대로다. 카드 덱의 두 뭉치를 완벽하게 교차하는 퍼펙트 셔플과 달리, 리플 셔플은 한 덩어리는 무질서하게 섞어 무작위성의 씨앗을 만든다. 그리고 셔플을 거듭하며 조금씩 카드를 섞어 혼합해 간다.


리플 셔플도 1~2차례만 했을 때는 일부 카드에 처음의 카드 순서가 남는다. 또한 대부분의 카지노가 하는 것 혹은 그 이상인 4~5차례의 셔플 후에도 카드에는 초기 순서의 흔적이 남곤 한다. 그러나 카드 더미를 7차례 리플 셔플로 섞으면 그 순서가 거의 사라진다. 이는 통계적으로도 증명됐다. 그렇다고 이보다 더 많이 셔플을 한다고 해서 섞이는 효과가 크게 달라지지는 않는다.


각 카드를 번갈아 교차하는 퍼펙트 셔플을 마스터하려면 몇 년이 걸린다

사진 출처,GETTY IMAGES

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각 카드를 번갈아 교차하는 퍼펙트 셔플을 마스터하려면 몇 년이 걸린다


디아코니스는 리플 셔플을 연구할 때, '마르코프 체인'이라는 강력한 수학적 도구를 사용했다.


서던 캘리포니아 대학의 수학자인 세미 하이에스 아사프는 "마르코프 체인은 어떤 상태에서 다른 상태로 변할 때 특정한 확률이 나타나는 것인데, 이때 오직 현재 상태에만 의존하고 현재보다 과거 상태에는 의존하지 않는 특징이 있다"고 말했다.


마르코프 체인에는 이전에 있었던 것에 대한 "기억"이 없다는 뜻이다. 아사프는 마르코프 체인이 카드 셔플링을 설명하기 좋은 기법이라고 했다. 일곱 번째 셔플의 결과는 여섯 번째 셔플로 나온 카드 순서에만 의존하지, 그 전에 다섯 번 셔플 결과에 의존하지 않기 때문이다.


마르코프 체인은 통계 및 컴퓨터 과학에서 카드 셔플, 원자의 진동, 주가 변동 등 임의의 사건에 나타나는 순서를 처리할 때 주로 사용된다. 각각의 경우, 미래의 "상태"- 카드 더미의 순서, 원자의 에너지, 주식의 가치-는 이전에 일어난 일이 아니라 지금 일어나고 있는 일에만 달려 있다.


이렇게 단순한 마르코프 체인은 많은 반복 후에 나타나는 특정 이벤트의 가능성에 대한 예측을 할 때도 사용할 수 있다. 검색 엔진 결과에서 웹 사이트 순위를 매기는 구글의 '페이지 랭크 알고리즘'은 수십억 명의 인터넷 사용자가 웹 링크를 무작위로 클릭하는 행동을 모델링한 마르코프 체인을 기반으로 한다.


디아코니스는 뉴욕 컬럼비아 대학의 수학자 데이브 바이엘과 함께 리플 셔플을 묘사하는 마르코프 체인이 일곱 번의 셔플 후에 질서를 갖춘 모습에서 급격하게 무작위로 전환된다는 것을 입증했다.


수학자들에게 '컷오프 현상'으로 알려진 이 변화는 뭔가를 섞을 때 나오는 일반적인 특징이다. 커피 속 크림을 젓는 것을 생각해보자. 커피에 크림을 넣고 저으면, 커피에 흰색 줄무늬가 만들어졌다가 갑자기 섞이면서 되돌릴 수 없게 된다.


그런데 카드 덱의 어느 쪽이 컷오프 됐는지(혹은 어느쪽이 제대로 섞여 있거나 원래의 순서가 남아 있는지 여부)를 알면, 카드 게임에서 크게 유리해진다.


1990년대에 하버드와 MIT 학생들로 구성된 팀이 카드 카운팅 등을 써서 미국 전역의 카지노에서 블랙잭 승률을 높인 적이 있다. 이후 카지노는 보다 정교한 카드 셔플링 머신을 도입하고 모든 카드가 완전히 노출되기 전에 재빨리 섞거나 플레이어에 대한 감시를 강화하는 등의 대응을 펼쳤다. 하지만 카지노에서 필요한 카드 덱을 기계로 일곱 번 섞는 것은 여전히 드문 일이다.


어쩌면 디아코니스의 연구는 카지노 업계의 관심을 크게 끌지는 못했을 수도 있다. 하지만 디아코니스는 무작위성을 연구하는 수학자, 통계 학자 및 컴퓨터 과학자에게 엄청난 영향을 미쳤다.


디아코니스의 75번째 생일을 기념하기 위해 2020년 1월 스탠포드에서 열린 컨퍼런스에서 전 세계의 동료들은 유전자 분류에 대한 수학, 흔들리는 상자에 시리얼이 어떻게 상자 바닥에 쌓이는지, 카드 셔플링 등에 대한 강연을 이어갔다.


카드 셔플을 잘 알지만 정작 디아코니스는 도박에는 별로 관심이 없다고 했다. 생계비를 버는 방법이라면 다른 재미있고 더 나은 방법이 있다는 것이다. 하지만 그는 카드 게임에서 머리를 써서 우위를 점하는 사람들을 부정적으로 보진 않는다.


그는 "생각하는 것은 속임수가 아니다"라고 말했다. "생각하는 것은 생각하는 것이죠."

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천사소녀네티 01.17 15:35
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화팅ㅎ하세여
할부지 05.13 15:16
건승하세여
할부지 05.13 16:24
부럽네요~~ㅎ
강태공 12.28 23:10
건승하세여
할부지 05.13 17:26
ㄲㅂ
할부지 05.13 18:42
크 추카요
호캬손쟈 01.14 17:07
저도 잘 안되네여
호캬손쟈 01.14 17:07
요새힘들어서용ㅜ
내일부터단도 01.14 10:35
여자분이신가???
헨젤이그랬대 01.13 09:56
ㅊㅋㅊㅋ
헨젤이그랬대 01.13 09:50

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